| Zusammenfassung |
This thesis concerns the combination of dependable error control and data based approximation to derive non-intrusive and reliable algorithms for uncertainty quantification in forward and inverse problems. In particular Bayesian inverse problems subject to high-dimensional parametric forward models driven by partial differential equations are the main focus. Access to stochastic moments or marginals of the Bayesian posterior typically requires many evaluations of the time-consuming forward model due to slowconverging sampling methods or high-dimensional numerical quadrature. Alternative surrogate modelling of the forward process through polynomial expansions succumbs to the curse of dimensionality, i.e. the exponential dependence of the number of expansion terms with respect to the parameter dimension. Hierarchical tensor representations, in particular the Tensor Train format, are employed to alleviate this exponential scaling under the assumption of a low-rank representability of the sought functions. To reduce the computational complexity of the forward model even further, adaptive strategies based on a posteriori error estimators are employed and investigated with regard to solvability, convergence and stability in the low-rank tensor format. The non-intrusiveness of the presented methods is ensured by linear and non-linear regression techniques that solely rely on pointwise evaluations of the parametric forward model and are equivalent to a Galerkin approximation with high probability if enough samples are used. Both the Bayesian framework under the assumption of Gaussian noise and the computation of the error estimator for the case of a lognormal coefficient field involve the exponentiation of functions naturally accessible in the hierarchical tensor format. For those exponentials, a Galerkin-type method, which yields computable upper and lower bounds for the approximation error for any discrete function in an induced energy norm, is derived. These results are applied to two different types of real-world parametric problems, namely steady-state diffusion through a medium and optical scattering of electromagnetic waves on nanostructures. For the latter, shape parameters of silicon line gratings are reconstructed for two different types of measurement techniques and their associated uncertainties are determined through a surrogate based posterior sampling scheme and via a measure transport approach.
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Kombination aus verlässlicher Fehlerkontrolle und datenbasierter Approximation um nicht-intrusive und zuverlässige Algorithmen zur Bestimmung von Unsicherheiten bei Vorwärts- und inversen Problemen zu entwickeln. Der Fokus liegt hierbei insbesondere auf Bayesschen inversen Problemen mit hoch-dimensionalen parameterabhängigen Vorwärtsmodellen denen partielle Differentialgleichungen zu Grunde liegen. Die Berechnung stochastischer Momente oder Marginale der Bayesschen Posterior-Dichte benötigt typischer Weise sehr viele Auswertungen des zeitaufwendigen Vorwärtsmodells aufgrund von langsam konvergierenden Sampling-Methoden oder hoch-dimensionalen Quadraturformeln. Eine alternative Surrogatmodellierung des Vorwärtsprozesses durch eine Polynomreihenentwicklung leidet unter dem Fluch der Dimensionen, d.h. unter der exponentiellen Abhängigkeit der Anzahl der Entwicklungsterme bezüglich der Parameterdimension. Hierarchische Tensordarstellungen, insbesondere das Tensor Train Format, werden angewendet um diese exponentielle Abhängigkeit abzumildern. Dabei wird angenommen, dass die gesuchten Funktionen mit einem niedrigen Rang dargestellt werden können. Um die Komplexität des Vorärtsmodells noch weiter zu reduzieren werden adaptive Strategien, die auf a posteriori Fehlerschätzern basieren, angewendet und auf Lösbarkeit, Konvergenz und Stabilität bezüglich des angewendeten niedrigrang Tensorformats untersucht. Die Nichtintrusivität der vorgestellten Methode wird gesichert indem lineare und nichtlineare Regressionsverfahren angewendet werden, die einzig auf punktweisen Auswertungen des parametrischen Vorwärtsmodells basieren und mit hoher Wahrscheinlichkeit äquivalent zu einer Galerkin Approximation sind, sofern genug Trainingsdaten verwendet werden. Sowohl das Bayessche Framework unter der Annahme von Gaußschem Messrauschen als auch die Berechnung der Fehlerschätzer für den Fall eines lognormalen Koeffizientenfeldes involvieren die Exponentiation von Funktionen die auf natürliche Weise in einem hierarchischen Tensorformat gegeben sind. Für diese Exponentiale wird eine Galerkin Methode, die berechenbare untere und obere Fehlerschranken für den Approximationsfehler durch beliebige diskrete Funktionen in der induzierten Energienorm aufweist, hergeleitet. Diese Resultate werden auf zwei verschiedene Typen von realen parametrischen Problemen, die zeitharmonische Diffusion durch ein Medium sowie die optische Streuung von elektromagnetischen Wellen an Nanostrukturen, angewendet. Für die optische Streuung werden Formparameter von Siliziumgittern für zwei verschiedene experimentelle Messtechniken rekonstruiert und deren Unsicherheiten durch ein Surrogat basiertes Sampling Schema sowie durch einen Maß-Transport Ansatz bestimmt. |
